Probabilidades e Análise Combinatória – Passo 3

Você está acessando o Passo 3 do nosso programa: Probabilidades e Análise Combinatória – Passo a Passo do Básico ao Avançado.

Passo 3: Árvore de Possibilidades

No Passo 3 iremos estudar um conceito muito importante: a Árvore de Possibilidades. Se você compreender bem a Árvore de Possibilidades, você já estará no caminho certo para saber resolver qualquer exercício de Análise Combinatória do ENEM. A seguir você terá uma série de exercícios, que vão te guiar passo a passo. Muito importante: tente resolver cada exercício por alguns minutos, antes de acessar os vídeos de dicas e resolução. A melhor maneira de você aprender matemática é resolvendo questões por conta própria.

Exercício 1

a) Há 2 lâmpadas em um lustre. Cada lâmpada pode estar ligada ou desligada. Qual o número total de configurações possíveis do lustre? Por exemplo, uma configuração possível é: a primeira lâmpada estar ligada, e a segunda lâmpada estar desligada. Outro exemplo de configuração seria a primeira lâmpada ligada, e a segunda também ligada.

Resposta: \(2\times2=4\)

b) Há 3 lâmpadas em um lustre. Cada lâmpada pode estar ligada ou desligada. Qual o número total de configurações possíveis do lustre? Por exemplo, uma configuração possível é: primeira lâmpada ligada, segunda lâmpada desligada e terceira lâmpada ligada.

Resposta: \(2\times2\times2=8\)

c) Há 4 lâmpadas em um lustre. Cada lâmpada pode estar ligada ou desligada. Qual o número total de configurações possíveis do lustre?

Resposta: \(2\times2\times2\times2=16\)

d) Há 5 lâmpadas em um lustre. Cada lâmpada pode estar ligada ou desligada. Qual o número total de configurações possíveis do lustre?

Resposta: \(2\times2\times2\times2\times2=32\)

e) A mesma questão com 6, 7 e 8 lâmpadas.

Resposta:
6 lâmpadas:
\(2\times2\times2\times2\times2\times2=64\)
7 lâmpadas:
\(2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=128\)
8 lâmpadas:
\(2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=256\)

Exercício 2

2a) Zezinho está aprendendo a escrever. Ele já sabe escrever as letras “a” e “b”, e ainda não aprendeu as outras. Usando apenas as letras “a” e “b”, quantas palavras de 2 letras ele pode formar? Mesmo que a palavra não faça sentido. Por exemplo, ele pode formar a palavra “aa”, um outro exemplo seria a palavra “ba”.

Resposta: \(2\times2=4\)

2b) Usando apenas as letras “a” e “b”, quantas palavras de 3 letras Zezinho pode formar? Mesmo que a palavra não faça sentido.

Resposta: \(2\times2\times2=8\)

2c) Usando apenas as letras “a” e “b”, quantas palavras de 4 letras Zezinho pode formar? Mesmo que a palavra não faça sentido.

Resposta: \(2\times2\times2\times2=16\)

2d) Usando apenas as letras “a” e “b”, quantas palavras de 5 letras Zezinho pode formar? Mesmo que a palavra não faça sentido.

Resposta: \(2\times2\times2\times2\times2=32\)

2e) Usando apenas as letras “a” e “b”, quantas palavras de 6, 7 e 8 letras Zezinho pode formar? Mesmo que a palavra não faça sentido.

Resposta:
6 lâmpadas: 64
7 lâmpadas: 128
8 lâmpadas: 256

Exercício 3

3a) Uma lanchonete permite que você monte seu próprio sanduíche. O sanduíche é feito com pão e carne. Você pode escolher uma dentre 2 opções de pão: francês ou italiano. E uma dentre 3 opções de carne: contra filé, presunto ou rosbife. De quantas maneiras você pode montar o sanduíche?

Resposta: \(2\times3=6\)

3b) A lanchonete adicionou o sanduíche premium no cardápio. Esse sanduíche é feito de pão, carne e molho. Além das opções de pão e carne do item anterior, você também escolhe uma dentre 2 opções de molho: Maionese ou molho Tártaro. De quantas maneiras você pode montar o sanduíche premium?

Resposta: \(2\times3\times2=12\)

3c) A lanchonete resolveu lançar o sanduíche master, que vem com pão, carne, molho e salada. As opções de pão, carne e molho são as mesmas dos itens anteriores. Além disso você escolhe uma dentre 2 opções de salada: Alface ou Rúcula. De quantas maneiras você pode montar o sanduíche master?

Resposta: \(2\times3\times2\times2=24\)

3d) A lanchonete agora está lançando o sanduíche completo, com pão, carne, molho, salada e queijo. As opções de pão, carne, molho e salada são as mesmas dos itens anteriores. Além disso você escolhe um dentre 3 tipos de queijo: Provolone, Ricota ou Minas. De quantas maneiras você pode montar o sanduíche completo?

Resposta: \(2\times3\times2\times2\times3=72\)

Exercício 4

4a) Um restaurante oferece um menu de almoço, com entrada e prato principal. Eles têm 2 opções de entrada: Sopa ou Patê. E 4 opções de prato principal: Frango, Carne, Peixe ou Macarrão. De quantas maneiras podemos montar o menu de almoço, escolhendo uma entrada e um prato principal?

Resposta: \(2\times4=8\)

4b) O restaurante oferece também o menu especial, com entrada, prato principal e uma bebida. As opções de entrada e prato principal são as mesmas do item anterior. Além disso, você escolhe uma dentre 3 opções de bebida: Refrigerante, Suco ou Água. De quantas maneiras diferentes podemos montar o menu especial?

Resposta: \(2\times4\times3=24\)

4c) No restaurante você também pode escolher o menu supremo, com entrada, prato principal, bebida e sobremesa. As opções de entrada e prato principal e bebida são as mesmas dos itens anteriores. Além disso, você escolhe uma dentre 3 opções de sobremesa: Sorvete, Bolo ou Torta. De quantas maneiras diferentes podemos montar o menu supremo?

Resposta: \(2\times4\times3\times3=72\)

4d) O restaurante tem também o menu completo, com entrada, prato principal, bebida, sobremesa e café. As opções de entrada e prato principal, bebida e sobremesa são as mesmas dos itens anteriores. Além disso, você escolhe uma dentre 2 opções de café: Expresso ou com Leite. De quantas maneiras diferentes podemos montar o menu completo?

Resposta: \(2\times4\times3\times3\times2=144\)

Exercício 5

5a) Laurinha está aprendendo a escrever os números. Ela já sabe escrever os algarismos 1, 2 e 3, e ainda não aprendeu os outros. Usando apenas os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de 2 dígitos ela consegue formar? Por exemplo, ela já pode escrever o número 111, outro exemplo seria o número 332.

Resposta: \(3\times3=9\)

5b) Usando apenas os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de 3 dígitos Laurinha consegue formar?

Resposta: \(3\times3\times3=27\)

5c) Usando apenas os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de 4 dígitos Laurinha consegue formar?

Resposta: \(3\times3\times3\times3=81\)

5d) Usando apenas os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de 5 dígitos Laurinha consegue formar?

Resposta: \(3\times3\times3\times3\times3=243\)

Exercício 6

Uma lanchonete permite que você monte seu próprio sanduíche. Você pode escolher uma dentre 3 opções de pão: francês, italiano ou australiano. Uma dentre 4 opções de carne: contra filé, peito de peru, presunto ou rosbife. E uma dentre 2 opções de molho: Maionese ou Tártaro. De quantas maneiras você pode montar o sanduíche?

Resposta: \(3\times4\times2=24\)

Exercício 7

No cardápio de um restaurante estão listados 3 possibilidades de entrada, 5 de prato principal, 3 bebidas e 4 sobremesas. De quantas maneiras podemos montar uma refeição nesse restaurante, com entrada, prato principal, bebida e sobremesa?

Resposta: \(3\times5\times3\times4=180\)

Exercício UEMG 2016

(UEMG 2016) “Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (…). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar”.

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado).

(UEMG 2016) “Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (…). O brinquedo buscava estimular a memorização de cores e sons.

Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão acender de forma aleatória e em sequência, podendo cada cor acender mais de uma vez.

O número máximo de formas que essa sequência de 3 luzes poderá acender é:
A) 12.
B) 24.
C) 36.
D) 64.

Resposta: \(4\times4\times4=64\)
Alternativa D

Exercício 8

Uma cantina permite que você monte o seu próprio combo. No combo vem um sanduíche, um pacote de batatas, uma bebida e uma sobremesa. Na cantina eles têm 4 opções de sanduíche, 3 tamanhos de pacotes de batata, 5 opções de bebida e 6 opções de sobremesa. De quantas maneiras diferentes você pode montar o seu combo?

Resposta: \(4\times3\times5\times6=360\)

Exercício 9

Joãozinho quer se vestir com calça, camiseta, sapato e boné. No seu armário, Joãozinho tem 4 calças, 5 camisetas, 2 pares de sapato e 3 bonés. De quantas maneiras diferentes Joãozinho pode se vestir?

Resposta: \(4\times5\times2\times3=120\)

Revisão: Notação Exponencial

Exercício 10

a) Usando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 3 dígitos podemos formar?

Resposta: \(3^5\)

b) Usando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 8 dígitos podemos formar?

Resposta: \(3^8\)

c) Usando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 15 dígitos podemos formar?

Resposta: \(3^{15}\)

Exercício 11

a) Um banco utiliza senhas numéricas formadas por 3 dígitos. Cada dígito é um algarismo entre 0 e 9. Quantas possibilidades possíveis de senhas podemos formar?

Resposta: \(10^{3}=1000\)

b) Um banco utiliza senhas numéricas formadas por 5 dígitos. Cada dígito é um algarismo entre 0 e 9. Quantas possibilidades possíveis de senhas podemos formar?

Resposta: \(10^{5}\)

c) Um banco utiliza senhas numéricas formadas por 20 dígitos. Cada dígito é um algarismo entre 0 e 9. Quantas possibilidades possíveis de senhas podemos formar?

Resposta: \(10^{20}\)

Exercício

a) Considerando um alfabeto de 26 letras, quantas palavras de 4 letras podemos formar? Mesmo que a palavra não faça sentindo, por exemplo, “bcde” pode ser considerado uma palavra.

Resposta: \(26^{4}\)

b) Considerando um alfabeto de 26 letras, quantas palavras de 10 letras podemos formar? Mesmo que a palavra não faça sentindo.

Resposta: \(26^{10}\)

Exercício

a) Um banco utiliza senhas formadas por 4 letras. Considere um alfabeto de 26 letras, e que cada letra maiúscula seja distinta da sua versão minúscula. Quantas senhas de 4 letras podemos formar? Nessa questão, a senha “Abcd” é considerada diferente da senha “abcd”, pois as letras maiúsculas são consideradas distintas das suas versões minúsculas.

Resposta: \(52^{4}\)

b) Quantas senhas de 10 letras podemos formar?

Resposta: \(52^{10}\)

Exercício ENEM 2013

(ENEM 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

A) \(\frac{62^6}{10^6}\)

B) \(\frac{62!}{10!}\)

C) \(\frac{62! 4!}{10! 56!}\)

D) \(62! – 10!\)

E) \(62^6 – 10^6\)

Dica 1:

Dica 1 Resolução:

Dica 2:

Dica 2 Resolução:

Resposta: Alternativa A

Exercício ENEM 2017

(ENEM 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

(ENEM 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes.
(ENEM 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é:

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

Dica 1:

Vamos começar analisando a Opção I, com formato LDDDDD. Seguindo esse formato, a senha tem 6 caracteres, sendo que o primeiro deve ser uma letra, e o outros caracteres devem ser dígitos. Temos que calcular quantas senhas distintas possíveis existem nesse formato.

Para o primeiro caracter, nós temos 26 escolhas possíveis de letras, e para cada um dos outros caracteres, nós temos 10 escolhas possíveis de dígitos.

Então, o número total de senhas que podemos formar nesse formato é:

\(26\times10\times10\times10\times10\times10\)

Fazendo a conta, encontramos o resultado de 2,600,000 senhas possíveis.

O enunciado pergunta, para qual dos 5 formatos, o número de senhas existentes é maior que 1 milhão e menor que 2 milhões. O resultado que encontramos para a Opção I é maior que 2 milhões, então está descartado.

Dica 2:

Vamos calcular o número total de senhas distintas para cada um dos outros formatos:

Opção II: DDDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(10\times10\times10\times10\times10\times10\)

Resultado: 1000,000 de senhas possíveis. O enunciado pede um formato que tenha mais de 1 milhão de senhas possíveis. Para essa opção, existem exatamente 1 milhão de senhas possíveis. Então a Opção II está descartada.

Opção III: LLDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(26\times26\times10\times10\times10\times10\)

O resultado da conta é: 6,760,000. Esse valor é maior que 2 milhões. Então a Opção III está descartada.

Opção IV: DDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(10\times10\times10\times10\times10\)

O resultado dá 100,000. Esse valor é menor que 1 milhão, então essa opção está descartada.

Opção V: LLLDD. O número de senhas possíveis é:

\(26\times26\times26\times10\times10\)

O resultado é 1,757,600. Esse valor está entre 1 milhão e 2 milhões. Então a alternativa correta é a Opção V.

Resposta: Alternativa E

Exercício ENEM 2014

(ENEM 2014 2a aplicação) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.

Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por

A) 100
B) 90
C) 80
D) 25
E) 20

Dica 1:

O enunciado diz que os novos caracteres devem ser vogais, minúsculas ou maiúsculas. Então para cada novo caracter, existem 10 possibilidades de escolha: a, b, c, d, e, A, B, C, D, E.

Dica 2:

Vamos supor, que originalmente, a capacidade do número de senhas do banco era um valor N.

Ao adicionarmos uma vogal, minúscula ou maiúscula no início, e uma outra no final, o número total de senhas possíveis fica:

\(10\times{N}\times10 = 100N\)

Ou seja, o número total de senhas possíveis cresceu 100 vezes em relação à capacidade original de N.

Resposta: Alternativa A

Exercício ENEM 2017

(ENEM 2017 2a aplicação) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.

Disponível em http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado)

Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a

A) \(26^3 + 9^4\)

B) \(26^3 \times 9^4\)

C) \(26^3 (10^4 – 1)\)

D) \((26^3 + 10^4) – 1\)

E) \((26^3 \times 10^4) – 1\)

Dica 1:

Qual o número de sequências formadas por 3 letras?

\(26\times26\times26 = 26^3\)

Dica 2:

Qual o número de sequências formadas por 4 algarismos?

\(10\times10\times10\times10 = 10^4\)

Dica 3:

Qual o número de sequências formadas por 4 algarismos, sendo que não é permitida a sequência formada por quatro zeros?

\(10^4 – 1\)

Dica 4:

De quantas maneiras podemos formar uma placa que começa com 3 letras, seguida de 4 algarismos. Mas não é permitido que todos os algarismos sejam zero.

\(26^3\times(10^4 – 1)\)

Resposta: Alternativa C

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