(ENEM 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva

(ENEM 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

(ENEM 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva
(ENEM 2019) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

A) \(C_{12}^4\times C_{12}^3\times C_{12}^3\times C_{12}^2\)

B) \(C_{12}^4\times C_{8}^3\times C_{5}^3\times C_{2}^2\)

C) \(C_{12}^4\times2\times C_{8}^3\times C_{5}^2\)

D) \(C_{12}^4+2\times C_{12}^3+C_{12}^2\)

E) \(C_{12}^4\times C_{8}^3\times C_{5}^3\times C_{2}^2\)

Resolução

Vamos começar pela cor vermelha. Dentre os 12 vagões, nós temos que escolher 4 para pintar de vermelho. De quantas maneiras podemos fazer essa escolha?

Bom, podemos fazer a escolha de \(C_{12}^4\) maneiras distintas (Esse resultado vem do conceito de combinações, que é um tema muito conhecido de análise combinatória).

Beleza, nesse ponto já escolhemos 4 vagões para pintar de vermelho. Se no total são 12, e já pintamos 4, então ainda faltam 12 – 4 = 8 vagões para pintar.

Vamos partir para a cor azul. O enunciado fala que 3 vagões devem ser pintados de azul. Ainda temos 8 vagões sem pintar. Destes 8, temos que escolher 3 para colorir de azul. De quantas maneiras podemos fazer isso?

Podemos fazer essa escolha de \(C_{8}^3\) maneiras distintas.

Ótimo, agora quantos vagões ainda sobraram sem pintar? Haviam 8, e pintamos 3 de azul. Então sobraram 8 – 3 = 5 vagões para pintar.

Vamos partir para a cor verde. O enunciado fala que 3 vagões tem que ser pintados de verde. Então, dos 5 vagões que sobraram, temos que escolher 3 para pintar de verde. De quantas maneiras podemos fazer essa escolha?

Podemos fazer de \(C_{5}^3\) maneiras distintas.

Perfeito! Haviam 5 vagões, e pintamos 3 de verde. Ainda sobram 5 – 3 = 2 vagões para pintar.

Agora vamos para a última cor, amarela. Do nosso raciocínio no parágrafo anterior, ainda tem 2 vagões sem pintar. E também sabemos, pelo enunciado, que 2 vagões devem ser pintados de amarelo. Então, dentre os 2 vagões que sobraram, de quantas maneiras podemos escolher 2 para pintar de amarelo?

Bom, só sobraram 2 vagões, e temos que pintar 2 de amarelo. Então obrigatoriamente temos que pintar os 2 vagões de amarelo. Conclusão, a gente só tem 1 maneira de fazer a escolha, que é justamente escolhendo os 2 vagões que sobraram para pintar de amarelo.

Mas, para o nosso resultado ficar igual a uma das alternativas do enunciado, vou dizer que podemos fazer essa escolha de \(C_2^2\) maneiras. Lembrando que \(C_2^2\) é igual a 1.

Pronto, agora pra concluir, de quantas maneiras podemos pintar o trem?

Temos \(C_{12}^4\) maneiras de escolher os vagões a serem pintados de vermelho. \(C_{8}^3\) maneiras de escolher os azuis. \(C_{5}^3\) maneiras de escolher os verdes. E \(C_{2}^2\) maneiras de escolher os amarelos.

Então, multiplicando esses valores, nós temos \(C_{12}^4\times C_{8}^3\times C_{5}^3\times C_{2}^2\) de maneiras de pintar o trem.

Resposta

Alternativa B

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