ENEM 2019 PPL – Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura com exemplares de uma bactéria

(ENEM 2019 PPL) Uma equipe de cientistas decidiu iniciar uma cultura com exemplares de uma bactéria, em uma lâmina, a fim de determinar o comportamento dessa população. Após alguns dias, os cientistas verificaram os seguintes fatos:

• a cultura cresceu e ocupou uma área com o formato de um círculo;
• o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia;
• a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado e não mudou significativamente com o tempo.

Considere que r representa o raio do círculo no primeiro dia, Q a quantidade de bactérias nessa cultura no decorrer do tempo e d o número de dias transcorridos.

Qual é a expressão que representa Q em função de r e d ?

A) \(Q=(10^3 (1,1)^{d-1} r )^2 \pi\)

B) \(Q=10^3 ((1,1)^{d-1}r)^2 \pi\)

C) \(Q=10^3(1,1(d-1)r)^2 \pi\)

D) \(Q=2 \times 10^3 (1,1)^{d-1} r \pi\)

E) \(Q=2 \times 10^3 (1,1(d-1)r) \pi\)

Dicas e Resolução em Vídeo

Dica 1:

Dica 2:

Dica 3:

Dica 4:

Resolução da Dica 4:

Resposta: Alternativa B

Dicas e Resolução por escrito

Dica 1:

Para começar, vamos tentar encontrar a quantidade de bactérias no primeiro dia.

Resolução da Dica 1:

Vamos ver uma informação fornecida pelo enunciado.

“Considere que r representa o raio do círculo no primeiro dia”

Então, no primeiro dia, a cultura de bactérias ocupa uma área no formato de um círculo de raio r. A área desse círculo pode ser calculada por:

\(A = \pi r^2\)

Agora, vamos ver outra informação do enunciado:

“a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado”

Vamos dizer que o círculo de bactérias tem \(\pi r^2\) milímetros quadrados. Usando a informação acima, qual é a quantidade de bactérias no círculo?

A quantidade de bactérias no primeiro dia é \(1000 \times \pi r^2\).

Dica 2:

Qual o raio do círculo depois de 2 dias transcorridos?

Resolução da Dica 2:

Vamos ver mais uma informação do enunciado:

“o raio do círculo formado pela cultura de bactérias aumentou 10% a cada dia”

No segundo dia, o raio é 10% maior do que no primeiro dia. No primeiro dia o raio era r.

Então no segundo dia, o raio vale r acrescido de 10%. Ou seja,

\(r_{2^o dia} = r.(1+ \frac{10}{100})\)

\(\iff r_{2^o dia} = r.(1+ 0,1)\)

\(\iff r_{2^o dia} = r.1,1\)

Aqui, notamos que quando queremos acrescentar 10% em um certo valor, basta multiplicarmos o valor por 1,1.

Depois de 2 dias transcorridos, o raio do círculo vale \(r.1,1\)

Dica 3:

Qual o raio do círculo depois de 3 e 4 dias transcorridos?

Resolução da Dica 3:

Depois de 3 dias transcorridos:

O raio do círculo cresce 10% em relação ao dia anterior.

No segundo dia, o raio era de r.1,1

Para acrescentar 10%, basta multiplicar o valor acima por 1,1

Então, o raio no terceiro dia vale:

\(r_{3^o dia} = r.1,1 \times 1,1\)

\(\iff r_{3^o dia} = r.1,1^2\)

Depois de 3 dias transcorridos, o raio do círculo vale \(r.1.1^2\)

Depois de 4 dias transcorridos:

Para calcular o raio do quarto dia, basta multiplicarmos o raio do terceiro dia por 1,1.

\(r_{4^o dia} = r.1,1^2 \times 1,1\)

\(\iff r_{4^o dia} = r.1,1^3\)

Depois de 4 dias transcorridos, o raio do círculo vale \(r.1.1^3\)

Dica 4:

Qual o raio do círculo depois de d dias transcorridos?

Resolução da Dica 4:

Nos exemplos anteriores a gente calculou que:

2 dias transcorridos:
\(r_{2^o dia} = r.1,1\)

3 dias transcorridos
\(r_{3^o dia} = r.1,1^2\)

4 dias transcorridos
\(r_{4^o dia} = r.1,1^3\)

A gente pode reparar que o expoente do 1,1 é sempre uma unidade menor do que o número de dias transcorridos.

Então, depois de d dias transcorridos, o expoente deve valer d-1. E o raio é:

d dias transcorridos
\(r_{d^o dia} = r.1,1^{d-1}\)

Depois de d dias transcorridos, o raio vale \(r.1.1^{d-1}\)

Dica 5:

Qual o número de bactérias depois de d dias transcorridos?

Resolução da Dica 5:

Primeiro, vamos calcular a área do círculo de raio \(r.1.1^{d-1}\)

\(A= \pi . (r.1,1^{d-1})^2 \)

E qual o número de bactérias Q nesse círculo, lembrando que:

“a concentração na cultura era de 1 000 bactérias por milímetro quadrado”

O número de bactérias é

\(Q = 1000 \times \pi . (r.1,1^{d-1})^2 \)

Pronto, chegamos na expressão que representa o número de bactérias Q. Mas agora temos que deixar a expressão igual a uma das alternativas do enunciado.

A gente pode notar que 1000 é igual a \(10^3\). Então:

\(Q = 10^3 \times \pi . (r.1,1^{d-1})^2 \)

Agora, apenas reordenando os termos, a gente obtém:

\(Q=10^3 ((1,1)^{d-1}r)^2 \pi\)

Resposta

Alternativa B