ENEM 2019 PPL – Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de Investimentos

(ENEM 2019 PPL) Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:

• Plano A: carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D: carência de 28 meses;
• Plano E: carência de 40 meses.

O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações: log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.

Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano

A) A.
B) B.
C) C.
D) D.
E) E.

Resolução

Antes de começar a questão, vamos relembrar algumas propriedades importantes do logaritmo.

1) Quando o log aparece sem nenhuma base, é implícito que a base é 10. Ou seja:

log A é a mesma coisa que log10A.

2) Quando temos uma equação, a gente pode aplicar log nos dois lados. Ou seja:

A = B <=> log A = log B

2) Quando a gente tem o log de uma expressão exponencial, a gente pode tirar o expoente, e este valor multiplica o log. Ou seja:

log AE = E.log A

Bom, agora vamos para a questão!

Dica 1:

O enunciado diz que o investimento rende sob juros compostos de 5% ao mês. No início, temos um valor de R$ 200,00. Quanto que esse investimento irá valer depois de 1 mês?

Resolução da Dica 1:

Recebendo 5% de juros, o montante inicial de R$ 200 irá valer:

200 ( 1 + 5/100 )

= 200( 1 + 0,05 )

= 200 x 1,05

Então, no primeiro mês, o investimento irá valer 200 x 1,05 reais.

A partir do raciocínio acima, a gente pode notar que aplicar 5% de juros é equivalente a multiplicar o montante por 1,05.

Dica 2:

Depois de 2 meses, quanto o investimento irá valer?

Resolução da Dica 2:

A gente pode pegar o valor do primeiro mês, e acrescentar 5% de juros.

No final do primeiro mês, o investimento vale: 200 x 1,05 reais.

No segundo mês, a gente acrescenta 5% de juros sobre o montante acima. Ou seja, a gente multiplica o montante acima por 1,05.

Então no final do segundo mês, o investimento vale 200 x 1,05 x 1,05 reais.

O que a gente pode notar?

No final do segundo mês, a gente multiplicou o montante inicial por 1,05 duas vezes.

Dica 3:

Depois de 3 meses, quanto o investimento irá valer?

Resolução da Dica 3:

Basta a gente pegar o montante no final do segundo mês, e acrescentar 5% de juros.

Ou seja, devemos multiplicar o valor do segundo mês por 1,05.

Depois de 3 meses, o investimento vale:

200 x 1,05 x 1,05 x 1,05 reais

Então estamos multiplicando três vezes por 1,05.

Com notação exponencial, esse valor é equivalente a:

200 x 1,053

Aqui a gente já consegue perceber uma lógica.

Para quatro meses, a gente teria que multiplicar quatro vezes por 1,05.

Para cinco meses, a gente teria que multiplicar cinco vezes por 1,05.

E assim sucessivamente.

Dica 4:

O enunciado pede que a gente duplique a aplicação inicial. Ou seja, o enunciado quer que no final a gente tenha 2 x 200 = 400 reais.

Depois de quantos meses a aplicação chega a 400 reais?

Resolução da Dica 4:

Vamos chamar de Y a quantidade de meses necessários para que a aplicação chegue em 400 reais.

Depois de Y meses, o montante irá valer:

200 x 1,05 x 1,05 x … x 1,05

A gente repete Y vezes a multiplicação por 1,05.

Escrevendo na forma exponencial, isso fica:

200 x 1,05Y reais

Agora, podemos montar uma equação: 200 x 1,05Y deve valer 400

200 x 1,05Y = 400

<=> 1,05Y = 400 / 200

<=> 1,05Y = 2

Para continuar, podemos usar a propriedade de aplicar log nos dois lados.

log 1,05Y = log 2

Usando a propriedade do expoente dentro do log:

Y . log 1,05 = log 2

Agora, podemos substituir os valores que o enunciado passou: log 1,05 = 0,02 e log 2 = 0,30.

Y . 0,02 = 0,30

Multiplicando por 100 dos dois lados

<=> Y . 0,02 . 100 = 0,30 . 100

<=> Y . 2 = 30

<=> Y = 30 / 2 = 15 meses

Conclusão: São necessários 15 meses para atingirmos o valor de 400 reais

Resposta

Alternativa B

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