ENEM 2019 PPL – Uma empresa sorteia prêmios entre os funcionários

(ENEM 2019 PPL) Uma empresa sorteia prêmios entre os funcionários como reconhecimento pelo tempo trabalhado. A tabela mostra a distribuição de frequência de 20 empregados dessa empresa que têm de 25 a 35 anos trabalhados.

A empresa sorteou, entre esses empregados, uma viagem de uma semana, sendo dois deles escolhidos aleatoriamente.

Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho?

A 1/20
B 1/19
C 1/16
D 2/20
E 5/20

Resolução

O enunciado pede para calcularmos uma probabilidade. Por isso, vamos revisar a definição de probabilidade.

\(P = \frac{n^o\, de\, casos\, que\, a\, gente\, quer}{n^o\, total\, de\, possibilidades}\)

Agora, vamos partir para a resolução da questão!

Dica 1:

A tabela mostra um total de 20 empregados. Dentre esses empregados, dois serão sorteados para ganhar o prêmio.

De quantas maneiras podemos escolher 2 sorteados dentre o total de 20 empregados?

Resolução da Dica 1:

O primeiro sorteado pode ser qualquer um dos 20 funcionários. Então, temos 20 escolhas possíveis para ser o primeiro sorteado.

Para o segundo prêmio, podemos escolher qualquer um dos funcionários restantes. Ou seja, temos 19 escolhas possíveis para o segundo sorteado.

Então, de quantas maneiras podemos escolher 2 sorteados dentre os 20?

Podemos escolher de 20 x 19 maneiras.

Mas… temos que prestar atenção para um detalhe!

Imagine que uma pessoa A é sorteada para o primeiro prêmio, e uma pessoa B é sorteada para o segundo prêmio.

Agora imagine uma outra situação. A pessoa B é sorteada para o primeiro prêmio, e a pessoa A é sorteada para o segundo prêmio.

Em ambas as situações, são as mesmas duas pessoas que ganharam o prêmio. Então, as duas situações representam a mesma escolha de sorteados.

Quando multiplicamos 20 x 19, estamos contando repetidamente situações como as descritas acima.

Por isso, temos que dividir esse valor por 2.

Então, podemos escolher os sorteados de \(\frac{20\times 19}{2}\) maneiras.

\(\frac{20\times 19}{2}\)

\(=10\times 19 = 190\)

Temos 190 maneiras de escolher 2 sorteados dentre os 20 funcionários.

Dica 2:

O enunciado pergunta:

“Qual a probabilidade de que ambos os sorteados tenham 34 anos de trabalho?”

Na tabela, vemos que há 5 funcionários com 34 anos de serviço.

Então, para continuar a resolução, temos que calcular o seguinte:

Considerando apenas os 5 funcionários com 34 anos de serviço. De quantas maneiras podemos sortear 2 pessoas dentre as 5?

Resolução Dica 2:

Vamos repetir o mesmo raciocínio da Dica 1.

Temos 5 maneiras de escolher o primeiro sorteado.

O segundo sorteado é escolhido dentre os funcionários que restaram. Logo, temos 4 maneiras de escolher o segundo sorteado.

Aqui é importante lembrar do mesmo detalhe sobre repetições da Dica 1.

Podemos escolher os sorteados de \(\frac{5\times 4}{2}\) maneiras.

\(\frac{5\times 4}{2}=\frac{20}{2} = 10\)

Então, considerando apenas os funcionários com 34 anos de serviço, temos 10 maneiras de escolher os sorteados

Dica 3:

Agora, vamos calcular a probabilidade.

\(P = \frac{n^o\, de\, casos\, que\, a\, gente\, quer}{n^o\, total\, de\, possibilidades}\)

Quais são os casos que a gente quer? Qual o número de casos que a gente quer?

Qual o número total de possibilidades?

Resolução da Dica 3:

Quais são os casos que a gente quer?

Queremos que ambos os sorteados estejam dentre os 5 funcionários com 34 anos de serviço.

De quantas maneiras isso pode acontecer?

Já calculamos. De 10 maneiras.

Qual o número total de possibilidades?

Já calculamos também. Temos 190 maneiras diferentes de escolher 2 sorteados dentre os 20 funcionários.

Agora, basta calcularmos a probabilidade

\(P = \frac{n^o\, de\, casos\, que\, a\, gente\, quer}{n^o\, total\, de\, possibilidades}\)

\(\iff P = \frac{10}{190} = \frac{1}{19}\)

Resposta

Alternativa B