ENEM 2019 – Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão

(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão
(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão

A função \(h(t) = 4 + 4sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2})\) definida para \(t \ge 0\) descreve como varia a altura h, medida em centímetros, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro \(\beta\), que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para \(\pi\).

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \(\beta\), de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 8

Resolução

O enunciado afirma que h(t) deve alcançar três vezes o valor de 6 cm. Então vamos estudar quando que acontece de h(t) ser igual a 6

\(h(t) = 6\)

\(\iff 4 + 4sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}) = 6\)

\(\iff 4sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}) = 2\)

\(\iff sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\)

Então, para que h(t) seja igual a 6, o valor do seno deve ser \(\frac{1}{2}\)

Além disso, o enunciado diz que h(t) deve alcançar três vezes o valor 6. Para que isso aconteça, o seno deve alcançar três vezes o valor \(\frac{1}{2}\).

Mas, quando que o seno atinge o valor de \(\frac{1}{2}\)? A gente pode ver isso pelo círculo trigonométrico.

ENEM 2019 - Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão

Pelo círculo trigonométrico, a gente vê que o seno atinge o valor \(\frac{1}{2}\) nos ângulos \(\frac{\pi}{6}\) e \(\frac{5\pi}{6}\).

Agora vamos estudar a expressão do seno com mais detalhes:

\(sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2})\)

Mais precisamente, vamos estudar o ângulo dentro do seno.

\(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}\)

Logo no início, a gente sabe que t = 0. Nesse instante, quanto vale o ângulo? Basta substituir t por zero na expressão.

\(\frac{\beta \times 0}{2} – \frac{\pi}{2} = – \frac{\pi}{2}\)

Então, a gente já sabe que no instante inicial, o ângulo \(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}\) vale \(-\frac{\pi}{2}\)

Conforme o tempo vai passando, o valor do ângulo \(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}\) vai aumentando. Eventualmente, o ângulo vai atingir o valor de \(\frac{\pi}{6}\). Nesse instante, o seno irá valer \(\frac{1}{2}\) pela primeira vez. E consequentemente, h(t) irá valer 6 pela primeira vez.

Depois disso, passando mais tempo, o ângulo vai continuar aumentando. Uma hora o ângulo vai atingir o valor de \(\frac{5\pi}{6}\). Nesse momento, o seno irá valer \(\frac{1}{2}\) pela segunda vez.

Agora, tenho uma pergunta. Quando que o seno irá valer \(\frac{1}{2}\) pela terceira vez?

Bom, pelo círculo trigonométrico, a gente viu que o seno tem o valor de \(\frac{1}{2}\) nos ângulos \(\frac{\pi}{6}\) e \(\frac{5\pi}{6}\).

Para que o seno atinja \(\frac{1}{2}\) pela terceira vez, é necessário que a gente dê uma volta completa no círculo, e depois ande mais \(\frac{\pi}{6}\). Uma volta completa a gente sabe que é \(2\pi\).

Então, o ângulo que estamos procurando é \(2\pi + \frac{\pi}{6}\). Fazendo as contas temos:

\(2\pi + \frac{\pi}{6}\)

\(= \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}\)

Conclusão: quando o ângulo atinge \(\frac{13\pi}{6}\), o seno terá o valor de \(\frac{1}{2}\) pela terceira vez. Consequentemente, h(t) terá o valor de 6 pela terceira vez.

O enunciado diz que em menos de 4 segundos, h(t) deve atingir o valor de 6 cm pela terceira vez. O que a gente pode concluir disso?

Concluímos que: o ângulo deve atingir \(\frac{13\pi}{6}\) antes do instante t = 4.

Isso implica que: no instante t = 4, o ângulo já deve ser maior do que \(\frac{13\pi}{6}\)

Agora, vamos montar a inequação:

No instante t = 4, temos que

\(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2} > \frac{13\pi}{6}\)

Substituindo t por 4 na inequação:

\(\frac{\beta \times 4}{2} – \frac{\pi}{2} > \frac{13\pi}{6}\)

\(\iff \beta \times 2 – \frac{\pi}{2} > \frac{13\pi}{6}\)

\(\iff \beta \times 2 > \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\)

\(\iff \beta \times 2 > \frac{13\pi}{6} + \frac{3\pi}{6}\)

\(\iff \beta \times 2 > \frac{16\pi}{6} \)

\(\iff \beta > \frac{8\pi}{6}\)

\(\iff \beta > \frac{4\pi}{3}\)

Mas, o enunciado diz que podemos utilizar 3 como aproximação para \(\pi\). Então:

\(\beta > \frac{4\pi}{3}\)

\(\iff \beta > \frac{4\times 3}{3}\)

\(\iff \beta > 4\)

Conclusão: beta deve ser maior do que 4.

O enunciado diz que beta é um número inteiro positivo. O pedido do enunciado é:

“O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \(\beta\), de forma que o motor a ser construído tenha boa potência”

Calculamos que beta deve ser maior que 4. Então, o menor inteiro que podemos atribuir ao beta é 5.

Resposta

Alternativa D

Convite para o nosso Grupo de Estudos no Telegram

Olá, gostaria de te convidar para o nosso grupo de estudos no Telegram. Pelo grupo, a nossa comunicação ficará um pouco mais fácil. Vamos discutir e resolver questões de provas passadas e vamos conversar sobre a sua preparação para o ENEM e os vestibulares. E claro, você poderá me enviar as suas dúvidas!

Para entrar no grupo, basta clicar no botão abaixo. Abs! Prof. Henry

O atributo alt desta imagem está vazio. O nome do arquivo é GrupoTelegram.jpg

Listas de Exercícios (focadas no ENEM)

Preparei uma série de listas de exercícios de Matemática focados no ENEM. Você terá uma lista para cada assunto de Matemática que aparece no ENEM.

Os exercícios nas listas estão ordenados por nível de dificuldade, começando nos mais fáceis, até os mais difíceis. Além disso, todas as questões são de provas anteriores do ENEM e de vestibulares.

O melhor de tudo é que para cada exercício você terá dicas e a resolução detalhada.

O grande objetivo dessas listas é que você se prepare bem para ficar craque em questões do nível do ENEM.

Acesse aqui as listas de exercícios

Você precisa de ajuda com algum exercício?

Durante os seus estudos, se você ficar com dúvidas em algum exercício de matemática, faça o seguinte:

  1. Tire uma foto da questão com o seu celular
  2. Me manda a foto do exercício por email: [email protected]

Pode ser qualquer exercício, mesmo que você não tenha visto ele aqui no site. Não deixe as suas dúvidas ficarem pendentes. Me manda a questão que tentarei te ajudar.

Abs, professor Henry

Você recomendaria o Yes Matemática a um amigo?

    De zero a dez, o quanto você recomendaria o Yes Matemática a um amigo?
    012345678910

    Você se importaria em compartilhar por que você escolheu essa nota?
    Seu email (Opcional)

    Deixe um comentário

    O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *