(ENEM 2019) Durante as férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei

(ENEM 2019) Durante as férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

A. 69
B. 70
C. 90
D. 104
E. 105

Resolução

Vamos começar calculando de quantas maneiras podemos formar quatro duplas, sem a restrição de que nenhuma dupla pode ser formada por dois canhotos.

Se colocarmos os 8 amigos em uma fila, podemos organizar as duplas da seguinte maneira:

O primeiro e o segundo da fila formam uma dupla.
O terceiro e o quarto formam outra dupla.
O quinto e o sexto formam outra dupla.
O sétimo e o oitavo formam outra dupla.

Para continuar, precisamos calcular de quantas maneiras podemos dispor os 8 amigos numa fila. Ou seja, de quantas maneiras podemos permutar os 8 amigos numa fila.

Mas isso é um resultado conhecido. Podemos permutar os 8 amigos numa fila de 8! maneiras diferentes.

Agora, temos que prestar atenção em um detalhe. Algumas das permutações levam a divisões idênticas dos amigos em duplas.

Por exemplo, essas duas permutações abaixo acabam levam à mesma divisão dos amigos em duplas:

AB CD EF GH
CD GH AB EF

O que concluímos: quando calculamos 8!, a gente acabou incluindo várias vezes a mesma divisão em duplas.

Bom, mas quantas vezes a gente contou repetidamente cada divisão em duplas? Vamos ver isso agora.

Considere a divisão em duplas: AB CD EF GH.
Qualquer permutação desses 4 elementos geram a mesma divisão em duplas. Por exemplo:

CD AB GH EF
EF GH AB CD
GH CD AB EF
EF CD AB GH

E, de quantas maneiras podemos permutar 4 elementos? Isso é um resultado conhecido. De 4! maneiras.

Conclusão: No valor de 8!, contamos repetidamente 4! vezes a mesma divisão em duplas. Logo, o número de maneira que podemos dividir 8 amigo em duplas é:

8! / 4!

Isso equivale a:

8.7.6.5.4.3.2.1 / 4.3.2.1 = 8.7.6.5 = 1680.

Ah, ainda não acabou! Nesse valor de 1680, ainda estamos contando repetidamente a mesma divisão em duplas. Olha só o exemplo abaixo:

AB CD EF GH
BA CD EF GH
AB DC EF GH
BA DC EF GH
AB CD FE HG

Todas essas configurações dos 8 amigos equivalem à mesma divisão em duplas.

Mas quantas configurações desse tipo existem, que seja equivalente a:

AB CD EF GH

Cada dupla pode ficar disposta de duas maneiras diferentes:

AB e BA
CD e DC
EF e FE
GH e HG

Então existem 2.2.2.2 configurações diferentes que equivalem à mesma divisão em duplas.

Logo o número de maneiras de dividir os 8 amigos em 4 duplas é:

1680 / 2.2.2.2 = 1680 / 16 = 105

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos dividir os amigos em duplas de modo que os dois canhotos fiquem juntos.

Bom, nesse caso, os dois canhotos já estão definidos na mesma dupla. Então, a gente só precisa calcular de quantas maneiras podemos dividir os 6 amigos restantes em 3 duplas. Se a gente repetir o mesmo raciocínio, a gente a chegar em:

6! / 3!.2.2.2

Isso equivale a:

6.5.4.3.2.1 / 3.2.1.2.2.2
= 6.5.4 / 2.2.2 = 15

Agora, vamos voltar para a questão do enunciado:

De quantas maneiras podemos formar quatro duplas, sem que tenham dois canhotos juntos?

Bom, basta subtrair os dois valores que a gente já calculou.

Há 105 maneiras de formar quatro duplas.
Há 15 maneiras de formar quatro duplas, de modo que os dois canhotos fiquem juntos.

Subtraindo fica: 105 – 15 = 90

Resposta

Alternativa C

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