ENEM 2019 – Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram

(ENEM 2019) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

A) 0,0500
B) 0,1000
C) 0,1125
D) 0,3125
E) 0,5000

Dicas e Resolução

Dica 1

O enunciado não diz qual é o número total de declarações de imposto que foram encaminhadas para a receita federal. Vamos chamar essa quantidade de N para ajudar nas nossas contas.

Agora, leia com atenção a seguinte frase do enunciado:

os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas.

Se o número total de declarações é N, quantas declarações foram identificadas como inconsistentes?

Resolução da Dica 1

O trecho do enunciado diz que 20% do número total de declarações foram identificadas como inconsistentes.

Então, temos que calcular quanto vale 20% de N.

Para calcular 20% de alguma coisa, basta multiplicar essa coisa por \(\frac{20}{100}\).

20% de N é igual a:

\(N \times \frac{20}{100}\)

\( = N \times 0,20 = 0,2N\)

Então, 0,2N declarações foram identificadas como inconsistentes.

Dica 2

Qual o número total de declarações que não foram identificadas como inconsistentes?

Resolução da Dica 2

20% das declarações foram identificas como inconsistentes.

Então, o restante não foi identificado como inconsistente.

O restante equivale a:

100% – 20% = 80%

Agora, temos que calcular quanto vale 80% do total de N declarações.

80% de N é igual a:

\(N \times \frac{80}{100}\)

\( = N \times 0,80 = 0,8N\)

Ou seja, 0,8N declarações não foram identificadas como inconsistentes.

Dica 3

Veja o seguinte trecho do enunciado:

Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas.

Baseado na frase acima, calcule:

Quantas declarações foram consideradas inconsistente e são fraudulentas?

Resolução da Dica 3

Já calculamos que 0,2N declarações foram consideradas inconsistentes.

25% desta quantidade são fraudulentas.

Logo, temos que calcular 25% de 0,2N.

25% de 0,2N:

\(0,2N \times \frac{25}{100}\)

\(=0,2N \times 0,25 = 0,05N\)

Ou seja, 0,05N é o número de declaração que foram consideradas inconsistentes e que também são fraudulentas.

Dica 4

Agora, leia com calma esse outro trecho do enunciado:

Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Baseado na frase do enunciado acima, calcule:

Quantas declarações não apresentaram inconsistências, mas são fraudulentas?

Resolução da Dica 4

Já vimos na Dica 2 que o total de declarações não consideradas inconsistentes é 0,8N.

Desta quantidade, 6,25% são fraudulentas.

Então, temos que calcular 6,25% de 0,8N.

\(0,8N \times \frac{6,25}{100}\)

\(=\frac{0,8N \times 6,25}{100}\)

\(=\frac{0,8 \times 6,25 \times N}{100}\)

\(=\frac{5N}{100} = 0,05N\)

Assim, 0,05N declarações não apresentaram inconsistências, mas são fraudulentas.

Dica 5

Qual é o número total de declarações fraudulentas?

Resolução da Dica 5

Na Dica 3, calculamos que há 0,05N declarações consideradas inconsistentes e que também são fraudulentas.

Na Dica 4, vimos que há 0,05N declarações que não foram consideradas inconsistentes, mas que são fraudulentas.

Para calcular o total de declarações fraudulentas, basta somar esses dois valores.

\(0,05N + 0,05N = 0,1N\)

Concluímos que há no total 0,1N declarações fraudulentas.

Dica 6

Agora, vamos partir para a questão do enunciado:

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

A pergunta diz “dado que ela era fraudulenta”. Então, a pergunta restringe a nossa análise apenas para as declarações que são fraudulentas.

Para responder essa questão, temos que relembrar a definição de probabilidade:

\(P = \frac{número\,de\,casos\,que\,queremos}{número\,total\,de\,possibilidades}\)

O número de casos que queremos é a quantidade de declarações fraudulentas que foram consideradas inconsistentes. Esse valor é 0,05N (Calculamos na Dica 3)

E, o número total de possibilidades é quantidade total de declarações fraudulentas. Essa quantidade vale 0,1N (Calculamos na Dica 5)

Agora é a sua vez, calcule a probabilidade

Resolução da Dica 6

\(P = \frac{número\,de\,casos\,que\,queremos}{número\,total\,de\,possibilidades}\)

\(\iff P = \frac{0,05N}{0,1N}\)

Cancelando o N em cima e embaixo:

\(\iff P = \frac{0,05}{0,1}\)

Multiplicando em cima e embaixo por 10:

\(\iff P = \frac{0,05 \times 10}{0,1 \times 10}\)

\(\iff P = \frac{0,5}{1} = 0,5\)

Conclusão: a probabilidade vale 0,5

Resposta

Alternativa E

Listas de Exercícios (focados no ENEM)

Preparei uma série de listas de exercícios de Matemática focados no ENEM. Você terá uma lista para cada assunto de Matemática que aparece no ENEM.

Os exercícios nas listas estão ordenados por nível de dificuldade, começando nos mais fáceis, até os mais difíceis. Além disso, todas as questões são de provas anteriores do ENEM e de vestibulares.

O melhor de tudo é que para cada exercício você terá dicas e a resolução detalhada.

O grande objetivo dessas listas é que você se prepare bem para ficar craque em questões do nível do ENEM.

Acesse aqui as listas de exercícios

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