ENEM 2019 – Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram

(ENEM 2019) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

A) 0,0500
B) 0,1000
C) 0,1125
D) 0,3125
E) 0,5000

Dicas e Resolução

Dica 1

O enunciado não diz qual é o número total de declarações de imposto que foram encaminhadas para a receita federal. Vamos chamar essa quantidade de N para ajudar nas nossas contas.

Agora, leia com atenção a seguinte frase do enunciado:

os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas.

Se o número total de declarações é N, quantas declarações foram identificadas como inconsistentes?

Resolução da Dica 1

O trecho do enunciado diz que 20% do número total de declarações foram identificadas como inconsistentes.

Então, temos que calcular quanto vale 20% de N.

Para calcular 20% de alguma coisa, basta multiplicar essa coisa por \(\frac{20}{100}\).

20% de N é igual a:

\(N \times \frac{20}{100}\)

\( = N \times 0,20 = 0,2N\)

Então, 0,2N declarações foram identificadas como inconsistentes.

Dica 2

Qual o número total de declarações que não foram identificadas como inconsistentes?

Resolução da Dica 2

20% das declarações foram identificas como inconsistentes.

Então, o restante não foi identificado como inconsistente.

O restante equivale a:

100% – 20% = 80%

Agora, temos que calcular quanto vale 80% do total de N declarações.

80% de N é igual a:

\(N \times \frac{80}{100}\)

\( = N \times 0,80 = 0,8N\)

Ou seja, 0,8N declarações não foram identificadas como inconsistentes.

Dica 3

Veja o seguinte trecho do enunciado:

Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas.

Baseado na frase acima, calcule:

Quantas declarações foram consideradas inconsistente e são fraudulentas?

Resolução da Dica 3

Já calculamos que 0,2N declarações foram consideradas inconsistentes.

25% desta quantidade são fraudulentas.

Logo, temos que calcular 25% de 0,2N.

25% de 0,2N:

\(0,2N \times \frac{25}{100}\)

\(=0,2N \times 0,25 = 0,05N\)

Ou seja, 0,05N é o número de declaração que foram consideradas inconsistentes e que também são fraudulentas.

Dica 4

Agora, leia com calma esse outro trecho do enunciado:

Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Baseado na frase do enunciado acima, calcule:

Quantas declarações não apresentaram inconsistências, mas são fraudulentas?

Resolução da Dica 4

Já vimos na Dica 2 que o total de declarações não consideradas inconsistentes é 0,8N.

Desta quantidade, 6,25% são fraudulentas.

Então, temos que calcular 6,25% de 0,8N.

\(0,8N \times \frac{6,25}{100}\)

\(=\frac{0,8N \times 6,25}{100}\)

\(=\frac{0,8 \times 6,25 \times N}{100}\)

\(=\frac{5N}{100} = 0,05N\)

Assim, 0,05N declarações não apresentaram inconsistências, mas são fraudulentas.

Dica 5

Qual é o número total de declarações fraudulentas?

Resolução da Dica 5

Na Dica 3, calculamos que há 0,05N declarações consideradas inconsistentes e que também são fraudulentas.

Na Dica 4, vimos que há 0,05N declarações que não foram consideradas inconsistentes, mas que são fraudulentas.

Para calcular o total de declarações fraudulentas, basta somar esses dois valores.

\(0,05N + 0,05N = 0,1N\)

Concluímos que há no total 0,1N declarações fraudulentas.

Dica 6

Agora, vamos partir para a questão do enunciado:

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

A pergunta diz “dado que ela era fraudulenta”. Então, a pergunta restringe a nossa análise apenas para as declarações que são fraudulentas.

Para responder essa questão, temos que relembrar a definição de probabilidade:

\(P = \frac{número\,de\,casos\,que\,queremos}{número\,total\,de\,possibilidades}\)

O número de casos que queremos é a quantidade de declarações fraudulentas que foram consideradas inconsistentes. Esse valor é 0,05N (Calculamos na Dica 3)

E, o número total de possibilidades é quantidade total de declarações fraudulentas. Essa quantidade vale 0,1N (Calculamos na Dica 5)

Agora é a sua vez, calcule a probabilidade

Resolução da Dica 6

\(P = \frac{número\,de\,casos\,que\,queremos}{número\,total\,de\,possibilidades}\)

\(\iff P = \frac{0,05N}{0,1N}\)

Cancelando o N em cima e embaixo:

\(\iff P = \frac{0,05}{0,1}\)

Multiplicando em cima e embaixo por 10:

\(\iff P = \frac{0,05 \times 10}{0,1 \times 10}\)

\(\iff P = \frac{0,5}{1} = 0,5\)

Conclusão: a probabilidade vale 0,5

Resposta

Alternativa E